La forme canonique d’un trinôme

01Une autre écriture du trinôme

Un trinôme du second degré f(x) = ax² + bx + c peut s'écrire sous une forme différente, appelée forme canonique, qui met en évidence les coordonnées du sommet de sa parabole. La courbe représentative d'un trinôme du second degré est toujours une parabole, symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x = α.

Exemple : f(x) = x² − 4x + 3. On calcule α = −(−4)/(2×1) = 2, puis β = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. La forme canonique est f(x) = (x − 2)² − 1.

02Retrouver la forme canonique par identification remarquable

Sur certains trinômes simples (a = 1), on peut retrouver la forme canonique directement grâce aux identités remarquables, sans passer par les formules de α et β. Exemple : f(x) = x² − 6x + 5. On reconnaît le début d'un carré : x² − 6x = (x − 3)² − 9 (car (x − 3)² = x² − 6x + 9). Donc f(x) = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4.

03Méthode : passer de la forme développée à la forme canonique

1. Calcule α avec la formule α = −b/(2a).
2. Calcule β en remplaçant x par α dans f(x).
3. Écris f(x) = a(x − α)² + β.

04À quoi sert la forme canonique ?

La forme canonique permet de lire directement le sommet de la parabole (α ; β), et donc de déterminer si f admet un minimum (si a > 0) ou un maximum (si a < 0) en ce point.

05Erreurs fréquentes

• ✗ Oublier le signe négatif dans la formule α = −b/(2a).
• ✗ Confondre les coordonnées du sommet : c'est bien (α ; β), pas (β ; α).
• ✗ Se tromper de signe en développant (x − α)² lors d'une identification remarquable.