Le discriminant et les racines d’un trinôme

01Un nombre qui donne le nombre de solutions

Le discriminant d'un trinôme ax² + bx + c permet de savoir combien de solutions possède l'équation ax² + bx + c = 0, sans avoir besoin de les calculer d'abord. Sa lettre grecque, Δ (delta), rappelle qu'il mesure un écart, celui entre les deux racines éventuelles.

02Le lien avec la forme factorisée

Quand Δ ≥ 0, connaître les racines permet d'écrire le trinôme sous forme factorisée : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), avec x₁ = x₂ si Δ = 0. Exemple : pour x² − 5x + 6, dont les racines sont 2 et 3, on obtient x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

03Méthode : résoudre ax² + bx + c = 0

1. Calcule le discriminant Δ = b² − 4ac.
2. Regarde le signe de Δ pour savoir combien de solutions il y a.
3. Calcule les solutions avec les formules adaptées, si Δ ≥ 0.

Exemple : x² − 5x + 6 = 0. Δ = 25 − 24 = 1 > 0. Deux solutions : x₁ = (5 − 1)/2 = 2 et x₂ = (5 + 1)/2 = 3.

04Erreurs fréquentes

• ✗ Oublier le signe moins dans le calcul de Δ = b² − 4ac.
• ✗ Continuer à chercher des solutions réelles alors que Δ < 0.
• ✗ Écrire la forme factorisée en oubliant le coefficient a devant le produit (x − x₁)(x − x₂).