Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan

01Comprendre

Une droite de l’espace peut être décrite par x = x₀ + at, y = y₀ + bt et z = z₀ + ct, où t est réel et (a ; b ; c) est un vecteur directeur non nul. Un plan d’équation αx + βy + γz + δ = 0 possède le vecteur normal (α ; β ; γ).

Pour trouver leur intersection, on remplace les trois coordonnées paramétriques dans l’équation du plan. On obtient une équation linéaire en t. Si son coefficient est non nul, elle donne un unique point d’intersection. Si le coefficient est nul, une égalité impossible indique une droite parallèle au plan sans intersection ; une identité indique une droite incluse dans le plan.

02La méthode

Effectue la substitution sans perdre les parenthèses, regroupe les termes en t et les constantes, puis distingue les trois cas. Lorsque t est déterminé, calcule les trois coordonnées du point et vérifie qu’elles satisfont l’équation du plan. Un paramètre t n’est pas une coordonnée du point.

03Un exemple

Pour x = 1 + t, y = 2 − t, z = 3t et le plan x + y + z − 6 = 0, la substitution donne 3 + 3t − 6 = 0. Donc t = 1 et l’intersection est I(2 ; 1 ; 3). On contrôle 2 + 1 + 3 − 6 = 0.

04Éviter une erreur fréquente

Une droite parallèle à un plan peut être contenue dans ce plan. Le mot « parallèle » seul ne permet donc pas de conclure à l’absence d’intersection.

05À toi de jouer

La droite x = t, y = 1, z = 2 rencontre-t-elle le plan x = 3 ?

Correction : Oui, en (3 ; 1 ; 2). L’équation impose t = 3, ce qui fournit un unique point.