Étudier une fonction logarithmique avec son domaine

01Comprendre

Le logarithme népérien ln u est défini pour u strictement positif. Pour étudier f(x) = ln(u(x)), on commence donc par résoudre u(x) > 0. Sur les intervalles où u est dérivable et positive, f′(x) = u′(x)/u(x). Le signe du dénominateur étant positif, celui de la dérivée dépend de u′.

Les identités ln(ab) = ln a + ln b et ln(a/b) = ln a − ln b exigent a > 0 et b > 0. Elles ne permettent pas de développer le logarithme d’une somme. Les limites ln t → −∞ lorsque t tend vers zéro par valeurs positives, et ln t → +∞ lorsque t tend vers +∞, aident à compléter l’étude.

02La méthode

Détermine le domaine, calcule les limites aux bornes de chaque intervalle, puis dérive. Construis le tableau de variations sur le domaine uniquement. Pour résoudre une équation logarithmique, garde les contraintes de positivité et utilise le caractère strictement croissant du logarithme ou l’exponentielle.

03Un exemple

Pour f(x) = ln(x − 2), le domaine est ]2 ; +∞[ et f′(x) = 1/(x − 2) > 0. La fonction est croissante. L’équation ln(x − 2) = 0 donne x − 2 = 1, donc x = 3, qui appartient bien au domaine.

04Éviter une erreur fréquente

ln(a + b) n’est généralement pas ln a + ln b. Par exemple ln(1 + 1) vaut ln 2, tandis que ln 1 + ln 1 vaut zéro.

05À toi de jouer

Résous ln(2x − 1) = 0.

Correction : x = 1. Il faut x > 1/2 ; puis 2x − 1 = 1 donne x = 1.