Équation cartésienne d’un plan

01Décrire un plan par une équation

Dans l'espace, un plan peut être décrit par une équation cartésienne, qui relie les coordonnées de tous les points appartenant à ce plan.

Exemple : le plan d'équation 2x + 3y − z + 1 = 0 admet le vecteur (2 ; 3 ; −1) comme vecteur normal.

02Déterminer l'équation d'un plan

Pour trouver l'équation d'un plan, on peut utiliser un vecteur normal (a ; b ; c) et un point A(xA ; yA ; zA) connu du plan : l'équation s'écrit a(x − xA) + b(y − yA) + c(z − zA) = 0, qui se développe ensuite sous la forme ax + by + cz + d = 0.

03Positions relatives de deux plans

Deux plans de l'espace peuvent être parallèles (leurs vecteurs normaux sont colinéaires) ou sécants (ils se coupent selon une droite). Deux plans parallèles distincts n'ont aucun point commun, tandis que deux plans confondus ont la même équation, à un coefficient multiplicateur près.

04Méthode : vérifier qu'un point appartient à un plan

1. Remplace x, y et z par les coordonnées du point dans l'équation du plan.
2. Calcule le résultat obtenu.
3. Si le résultat est 0, le point appartient au plan ; sinon, il n'y appartient pas.

Exemple : le point (1 ; 0 ; 3) appartient-il au plan 2x + 3y − z + 1 = 0 ? On calcule 2×1 + 3×0 − 3 + 1 = 0. Le point appartient bien au plan.

05Erreurs fréquentes

• ✗ Confondre les coordonnées du vecteur normal (a ; b ; c) avec celles d'un point du plan.
• ✗ Oublier le terme constant d dans l'équation du plan.
• ✗ Croire que deux plans ayant des vecteurs normaux colinéaires sont forcément confondus : ils peuvent être parallèles et distincts.