Les vecteurs dans l’espace
Une troisième coordonnée.
7 min de lecture · Quiz · 3 questions · Mis à jour le 26/09/2026
01Une troisième coordonnée
Dans l'espace, un vecteur se décrit avec trois coordonnées au lieu de deux, pour tenir compte de la profondeur en plus de la largeur et de la hauteur.
- Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
- si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA).
- Norme d'un vecteur
- la longueur du vecteur AB(x ; y ; z), notée ‖AB‖, se calcule par ‖AB‖ = √(x² + y² + z²).
Exemple : A(1 ; 0 ; 2) et B(3 ; 4 ; 5). Les coordonnées du vecteur AB sont (3 − 1 ; 4 − 0 ; 5 − 2) = (2 ; 4 ; 3).
02Milieu d'un segment et somme de vecteurs
Comme dans le plan, les coordonnées du milieu I d'un segment [AB] s'obtiennent en faisant la moyenne des coordonnées : I = ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 ; (zA + zB)/2). La somme de deux vecteurs s'obtient également en additionnant leurs coordonnées une à une.
03Vecteurs colinéaires dans l'espace
Deux vecteurs de l'espace sont colinéaires (de même direction) s'il existe un nombre k tel que les coordonnées de l'un s'obtiennent en multipliant celles de l'autre par k.
04Méthode : calculer les coordonnées d'un vecteur dans l'espace
- Repère les coordonnées des points A et B, chacune avec trois valeurs (x ; y ; z).
- Soustrais chaque coordonnée de A à la coordonnée correspondante de B.
- Écris le résultat sous forme de triplet.
05Erreurs fréquentes
- ✗ Oublier la troisième coordonnée (z) en travaillant dans l'espace comme dans le plan.
- ✗ Mélanger l'ordre des coordonnées x, y et z dans le calcul.
- ✗ Oublier la racine carrée dans le calcul de la norme d'un vecteur.
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