Produit scalaire, orthogonalité et distance à un plan

01Comprendre

Dans un repère orthonormé de l’espace, u·v = xx′ + yy′ + zz′. Une droite est orthogonale à un plan si son directeur est normal au plan. Une droite parallèle à un plan a un directeur orthogonal à une normale du plan. La distance d’un point A à un plan ax + by + cz + d = 0 vaut ∣axA + byA + czA + d∣/√(a² + b² + c²). On distingue orthogonalité de directions et intersection effective des objets.

02Un exemple

Le plan z = 2 a pour normale (0 ; 0 ; 1). La distance de A(1 ; 4 ; 5) à ce plan vaut ∣5 − 2∣ = 3.

03À toi de jouer

Quelle est la distance de (0 ; 0 ; −1) au plan z = 2 ?

Correction : 3. La distance vaut ∣−1 − 2∣ = 3.