Le mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

01Un mouvement soumis au seul poids

On étudie ici le mouvement d'un projectile (une balle, un ballon, un satellite proche de la Terre sur une courte durée) au voisinage de la surface terrestre, dans une région où le champ de pesanteur peut être considéré comme uniforme, c'est-à-dire de même valeur g et de même direction verticale en tout point de la zone étudiée. Lorsqu'on néglige les frottements de l'air (hypothèse fréquente en terminale, valable pour un objet dense et une vitesse modérée), la seule force qui s'exerce sur le projectile après son lancement est son poids, P = m·g, vertical et dirigé vers le bas. D'après la deuxième loi de Newton, la somme des forces appliquées est égale à m fois le vecteur accélération : ici, la seule force étant le poids, l'accélération du centre de masse du projectile est donc constante, égale au vecteur g (environ 9,8 m/s² dirigé vers le bas), et ne dépend ni de la masse ni de la vitesse initiale de l'objet.

02Deux mouvements indépendants superposés

L'intérêt de la deuxième loi de Newton est qu'elle se traduit, une fois projetée sur des axes horizontal (x) et vertical (y), par deux équations indépendantes du mouvement. Sur l'axe horizontal, aucune force ne s'exerce (l'accélération horizontale est nulle) : la composante horizontale de la vitesse reste donc constante tout au long du mouvement, égale à sa valeur initiale v0x. Sur l'axe vertical, l'accélération vaut −g (orientée vers le bas) : le mouvement vertical est uniformément accéléré, la vitesse verticale augmente (en valeur absolue) de façon constante et régulière au cours du temps. En intégrant deux fois ces équations d'accélération, on obtient les équations horaires de la position, x(t) = v0x·t + x0 et y(t) = −½·g·t² + v0y·t + y0 : la position horizontale évolue linéairement avec le temps, tandis que la position verticale évolue selon une fonction du second degré du temps.

03Une trajectoire parabolique

En combinant ces deux équations horaires pour éliminer le temps t, on obtient l'équation de la trajectoire, c'est-à-dire y en fonction de x : cette équation est celle d'une parabole. C'est la raison pour laquelle tout projectile lancé avec une vitesse initiale non verticale, et soumis à son seul poids, décrit une trajectoire parabolique caractéristique, que l'on observe par exemple avec un jet d'eau, une balle de tennis ou un boulet de canon. La portée du tir (distance horizontale parcourue avant de retoucher le sol) et la flèche (hauteur maximale atteinte) dépendent toutes deux de la vitesse initiale et de l'angle de lancement par rapport à l'horizontale : un angle de 45° maximise la portée pour une vitesse initiale donnée, en l'absence de frottement.

04Méthode : établir les équations horaires d'un projectile

1. Applique la deuxième loi de Newton en ne considérant que le poids comme force appliquée (hypothèse de chute libre).
2. Projette l'accélération sur les axes horizontal et vertical, puis intègre successivement pour obtenir la vitesse puis la position à chaque instant.
3. Élimine le temps t entre les deux équations horaires de position pour obtenir l'équation cartésienne de la trajectoire parabolique.

05Erreurs fréquentes

• ✗ Croire que l'accélération dépend de la masse du projectile : en chute libre, elle vaut toujours g, quelle que soit la masse.
• ✗ Oublier que la composante horizontale de la vitesse reste constante pendant tout le mouvement, faute de force horizontale.
• ✗ Confondre vitesse verticale (qui varie de façon linéaire avec le temps) et position verticale (qui varie de façon quadratique).