Équation de la tangente en un point

01Comprendre

Le nombre dérivé f′(a) représente la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Lorsque f est dérivable en a, cette droite a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Elle passe nécessairement par A(a ; f(a)). La formule exprime une approximation locale de la fonction autour de ce point.

La pente renseigne sur l’inclinaison : une dérivée positive correspond à une tangente montante, une dérivée négative à une tangente descendante et une dérivée nulle à une tangente horizontale. Une tangente peut couper la courbe : elle n’est pas définie comme une droite qui n’aurait qu’un seul point commun avec elle.

02La méthode

Calcule séparément f(a) et f′(a), puis remplace dans la formule avant de développer. Contrôle que l’équation de la droite donne bien f(a) lorsque x = a. Si une approximation est demandée, annonce qu’elle est locale et ne constitue pas une égalité exacte pour toutes les valeurs de x.

03Un exemple

Pour f(x) = x² au point a = 2, on obtient f(2) = 4 et f′(2) = 4. La tangente est y = 4(x − 2) + 4 = 4x − 4. À x = 2,01, elle donne 4,04, proche de f(2,01) = 4,0401.

04Éviter une erreur fréquente

Ne remplace pas f(a) par f′(a) : la hauteur du point et la pente de la droite sont deux informations différentes.

05À toi de jouer

Quelle est la tangente à f(x) = x² en a = 1 ?

Correction : y = 2x − 1. f(1) = 1 et f′(1) = 2, donc y = 2(x − 1) + 1.