Formule d’Al-Kashi et longueur d’un côté

01Comprendre

La formule d’Al-Kashi généralise la relation de Pythagore à un triangle quelconque. Si a est le côté opposé à l’angle A et b et c les deux autres côtés, alors a² = b² + c² − 2bc cos A. L’angle utilisé est donc celui compris entre les côtés b et c.

Lorsque A vaut 90°, son cosinus est nul et la formule devient a² = b² + c². Pour un angle aigu, le terme retranché est positif ; pour un angle obtus, il est négatif. La formule se démontre avec le produit scalaire et permet aussi de retrouver un angle lorsque les trois côtés sont connus.

02La méthode

Dessine et nomme le triangle pour éviter de mélanger les côtés. Identifie les deux longueurs entourant l’angle connu, calcule le carré du côté recherché, puis prends sa racine positive. Pour trouver un angle, isole son cosinus et contrôle que le résultat appartient à [−1 ; 1].

03Un exemple

Avec b = 3 cm, c = 4 cm et A = 60°, a² = 9 + 16 − 24 × 0,5 = 13. Donc a = √13 cm. Le triangle n’est pas rectangle : utiliser directement √25 = 5 cm ignorerait le terme du cosinus.

04Éviter une erreur fréquente

Ne remplace pas le cosinus par l’angle lui-même. L’unité et le mode degrés ou radians de la calculatrice doivent être cohérents.

05À toi de jouer

Si b = c = 2 et A = 60°, combien vaut a ?

Correction : 2. a² = 4 + 4 − 8 × 0,5 = 4, donc a = 2.