Loi des sinus et résolution d’un triangle

01Comprendre

Dans un triangle ABC, on note a, b et c les longueurs des côtés opposés aux angles A, B et C. La loi des sinus donne a/sin A = b/sin B = c/sin C. Elle permet de déterminer une longueur lorsque l’on connaît un côté et deux angles, ou de relier un angle à des longueurs.

La somme des angles d’un triangle vaut 180°. Le plus grand côté est opposé au plus grand angle. Les rapports de la loi des sinus utilisent toujours un côté et son angle opposé ; mélanger les correspondances change le calcul. Si l’on déduit un angle à partir de son sinus, plusieurs angles peuvent partager cette valeur et le contexte doit les départager.

02La méthode

Dessine un schéma, place les données et identifie les couples opposés. Calcule un angle manquant si nécessaire. Isole l’inconnue dans le rapport avant de remplacer les valeurs. Vérifie le mode degrés ou radians de la calculatrice et compare la longueur obtenue aux autres côtés pour évaluer sa cohérence.

03Un exemple

Si A = 30°, B = 45° et a = 4 cm, alors C = 105°. On trouve b = 4 sin 45°/sin 30° = 4√2 cm, soit environ 5,66 cm. L’angle B étant plus grand que A, il est cohérent que b soit plus grand que a.

04Éviter une erreur fréquente

Une figure dessinée à main levée ne garantit pas un angle droit. N’utilise pas Pythagore sans avoir établi cette propriété.

05À toi de jouer

Si A = 30°, B = 90° et a = 3 cm, combien vaut b ?

Correction : 6 cm. b = 3 sin 90°/sin 30° = 3/0,5 = 6.