Étudier les variations et optimiser une grandeur

01Comprendre

Sur un intervalle, une dérivée positive indique une fonction croissante ; une dérivée négative indique une fonction décroissante. Pour rechercher un maximum ou un minimum, on précise le domaine, on calcule la dérivée, on étudie son signe puis on compare les valeurs candidates et les bornes. Une dérivée nulle ne garantit pas à elle seule un extremum : le changement de signe est déterminant. Le résultat doit être interprété avec ses unités et contraintes.

02Un exemple

L’aire A(x) = x(10 − x), pour 0 ≤ x ≤ 10, a pour dérivée 10 − 2x. Elle augmente jusqu’à 5, puis diminue. Son maximum vaut 25.

03À toi de jouer

À quelle valeur de x cette aire est-elle maximale ?

Correction : 5. La dérivée change de signe de positif à négatif en x = 5.