La fonction exponentielle

01Une fonction égale à sa propre dérivée

La fonction exponentielle, notée exp ou x ↦ eˣ, est l'unique fonction dérivable sur ℝ qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0.

02D'autres relations utiles

Outre eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ, la fonction exponentielle vérifie d'autres relations pratiques : e⁻ᵃ = 1/eᵃ (l'exponentielle d'un opposé est l'inverse), et eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ. Ces règles ressemblent à celles des puissances, ce qui aide à les retenir.

03Les propriétés de l'exponentielle

La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ. Elle vérifie eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ pour tous nombres a et b.

04Méthode : utiliser la relation eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ

1. Repère une somme dans l'exposant.
2. Transforme eᵃ⁺ᵇ en un produit eᵃ × eᵇ.
3. Simplifie l'expression si possible.

Exemple : e³ˣ⁺² = e³ˣ × e².

05Erreurs fréquentes

• ✗ Croire que la fonction exponentielle peut prendre des valeurs négatives ou nulles (elle est toujours strictement positive).
• ✗ Confondre eᵃ⁺ᵇ (qui devient un produit) et eᵃ + eᵇ (qui reste une somme).
• ✗ Écrire e⁻ᵃ = −eᵃ au lieu de e⁻ᵃ = 1/eᵃ.