Produit scalaire et orthogonalité

01Comprendre

Le produit scalaire de u et v vaut ‖u‖‖v‖cos θ, où θ est l’angle entre les vecteurs non nuls. Dans un repère orthonormé, u(x ; y) · v(x′ ; y′) = xx′ + yy′. Un produit scalaire nul caractérise l’orthogonalité de deux vecteurs non nuls. Il peut être positif ou négatif et n’est pas un vecteur. La formule ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2u·v + ‖v‖² relie longueur et produit scalaire.

02Un exemple

Pour u(2 ; 1) et v(1 ; −2), le produit vaut 2 × 1 + 1 × (−2) = 0 : les vecteurs sont orthogonaux.

03À toi de jouer

Calcule (1 ; 3) · (2 ; 4).

Correction : 14. Le produit scalaire vaut 1 × 2 + 3 × 4 = 14.