Résoudre un système de deux équations linéaires

01Comprendre

Un système de deux équations à deux inconnues cherche les couples qui satisfont les deux égalités à la fois. La substitution consiste à isoler une inconnue dans une équation puis à remplacer cette inconnue dans l’autre. La combinaison linéaire consiste à multiplier les équations par des nombres puis à les additionner ou les soustraire pour éliminer une inconnue.

Dans le plan, chaque équation linéaire non dégénérée décrit une droite. Deux droites sécantes donnent un seul couple solution ; des droites parallèles distinctes n’en donnent aucun ; des droites confondues en donnent une infinité. Un calcul qui aboutit à 0 = 1 signale une impossibilité, tandis que 0 = 0 exige de revenir à l’équation restante.

02La méthode

Choisis la substitution si un coefficient vaut 1 ou −1. Sinon, prépare une combinaison qui annule une inconnue. Résous l’équation obtenue, retrouve la seconde inconnue, puis remplace les deux valeurs dans les deux équations d’origine. Cette dernière étape contrôle notamment les erreurs de signe.

03Un exemple

Pour x + y = 7 et 2x − y = 2, l’addition donne 3x = 9, donc x = 3. Puis y = 4. Vérification : 3 + 4 = 7 et 2 × 3 − 4 = 2. Le couple solution est (3 ; 4).

04Éviter une erreur fréquente

Une solution est un couple ordonné : inverser ses coordonnées peut changer le résultat. Résoudre une seule des deux équations ne suffit pas.

05À toi de jouer

Résous x + y = 5 et x − y = 1.

Correction : (3 ; 2). L’addition donne 2x = 6, puis y = 5 − 3 = 2.