Ensemble de définition d’une expression

01Comprendre

L’ensemble de définition contient les valeurs réelles pour lesquelles une expression a un sens. Une fraction impose un dénominateur non nul ; une racine carrée réelle impose un radicand positif ou nul. Si plusieurs contraintes apparaissent, elles doivent être satisfaites simultanément. Le résultat est donc une intersection d’ensembles, et non leur réunion.

Une simplification ne supprime pas les restrictions initiales. Ainsi (x² − 1)/(x − 1) vaut x + 1 lorsque x est différent de 1, mais l’expression de départ demeure indéfinie en 1. Préciser le domaine avant le calcul permet d’éviter des solutions impossibles et de comprendre les ruptures d’une représentation graphique.

02La méthode

Écris une condition pour chaque dénominateur et chaque racine. Résous les conditions séparément, puis conserve les valeurs communes. Si tu résous ensuite une équation, vérifie que chaque solution trouvée appartient à ce domaine initial. Des valeurs interdites ne deviennent pas autorisées après factorisation.

03Un exemple

Pour f(x) = √(x + 2)/(x − 3), la racine impose x ≥ −2 et le quotient impose x ≠ 3. Le domaine est [−2 ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[. La valeur −2 est autorisée : la racine vaut alors zéro et le dénominateur −5.

04Éviter une erreur fréquente

Ne confonds pas un numérateur nul, généralement autorisé, avec un dénominateur nul. Les crochets doivent aussi refléter les bornes exclues.

05À toi de jouer

Quel est le domaine de g(x) = 1/√(x − 4) ?

Correction : ]4 ; +∞[. Il faut x − 4 ≥ 0 pour la racine et une racine non nulle au dénominateur : donc x > 4.