La fonction linéaire

01Le lien avec la proportionnalité

Une fonction linéaire est une fonction f définie par f(x) = ax, où a est un nombre fixé appelé coefficient. Elle traduit une situation de proportionnalité : l'image d'un nombre s'obtient en le multipliant par a.

Exemple : f(x) = 3x est une fonction linéaire de coefficient 3. L'image de 5 est f(5) = 3 × 5 = 15.

02Une situation concrète

Les fonctions linéaires modélisent de nombreuses situations de proportionnalité de la vie courante. Par exemple, le prix payé pour des fruits à 2 € le kilo est donné par la fonction f(x) = 2x, où x est la masse en kilos : 3 kg coûtent f(3) = 2 × 3 = 6 €. Le coefficient a représente alors le prix d'une seule unité.

03La représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère (le point de coordonnées (0 ; 0)).

04Méthode : déterminer le coefficient a à partir d'une image

1. Repère un couple (x ; f(x)) connu, avec x différent de 0.
2. Utilise la relation f(x) = ax pour écrire a = f(x) ÷ x.
3. Calcule le coefficient a.

Exemple : si f(4) = 12, alors a = 12 ÷ 4 = 3, donc f(x) = 3x.

05Erreurs fréquentes

• ✗ Confondre fonction linéaire (f(x) = ax) et fonction affine (f(x) = ax + b, avec b différent de 0).
• ✗ Oublier que la droite d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine du repère.
• ✗ Utiliser un couple (x ; f(x)) avec x = 0 pour calculer le coefficient a, ce qui est impossible (division par 0).