Le théorème de Thalès

01Des longueurs proportionnelles

Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur dans une configuration formée de deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles. Il doit son nom à Thalès, un mathématicien grec du VIe siècle avant notre ère.

02La réciproque de Thalès

Comme pour Pythagore, il existe une réciproque : si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Elle permet de démontrer un parallélisme à partir de longueurs, sans avoir besoin de mesurer d'angle. C'est l'utilisation inverse du théorème direct, qui lui sert à calculer une longueur en connaissant déjà le parallélisme.

03Méthode : utiliser le théorème de Thalès

1. Vérifie les hypothèses : deux droites sécantes en un point, coupées par deux droites parallèles.
2. Écris l'égalité des rapports de longueurs, en respectant l'ordre des points à partir du sommet commun.
3. Remplace les longueurs connues, puis calcule la longueur manquante par un produit en croix.

Exemple : si AM = 3, AB = 6, AN = 4, alors AM/AB = AN/AC donne 3/6 = 4/AC, donc AC = (4 × 6) / 3 = 8.

04Erreurs fréquentes

• ✗ Utiliser le théorème sans avoir vérifié que les droites sont bien parallèles.
• ✗ Inverser l'ordre des points dans les rapports de longueurs (l'égalité doit toujours partir du sommet commun).
• ✗ Confondre le théorème direct (pour calculer une longueur) et sa réciproque (pour démontrer un parallélisme).