Calculer une probabilité cumulée binomiale

01Comprendre

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, X compte les succès de n épreuves de Bernoulli indépendantes de même probabilité p. La probabilité exacte est P(X = k) = C(n,k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Une probabilité cumulée, comme P(X ≤ k), additionne les probabilités des entiers de zéro à k.

Les mots de l’énoncé déterminent les bornes : « au plus trois » signifie X ≤ 3 ; « moins de trois » signifie X ≤ 2 ; « au moins trois » signifie X ≥ 3. Le complément donne P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2). Oublier le décalage d’une unité est une erreur fréquente pour une variable entière.

02La méthode

Vérifie d’abord les hypothèses du modèle, puis traduis l’événement en inégalité. Identifie n, p et la borne. Utilise la somme ou une fonction cumulée de calculatrice, avec le complément si cela réduit le travail. Garde suffisamment de chiffres pendant le calcul et arrondis seulement le résultat final.

03Un exemple

Pour X de loi binomiale de paramètres 4 et 0,5, P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,5⁴ = 15/16. L’événement contraire à « au moins un succès » est « aucun succès », et non « au plus un succès ».

04Éviter une erreur fréquente

Un tirage sans remise dans une petite population ne fournit généralement pas des épreuves indépendantes : le modèle binomial n’est alors pas automatique.

05À toi de jouer

Pour X de loi B(3 ; 0,5), combien vaut P(X ≥ 1) ?

Correction : 7/8. On retire à 1 la probabilité de zéro succès : 1 − (0,5)³.