Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres

01Comprendre

Pour une variable de variance finie et δ positif, P(∣X − E(X)∣ ≥ δ) ≤ V(X)/δ². Cette inégalité majore la probabilité d’un écart important ; elle ne donne pas forcément une estimation précise. Appliquée à une moyenne de variables indépendantes de même loi, elle montre que la probabilité d’un écart fixé diminue quand n augmente. C’est une formulation de la loi des grands nombres. Un résultat très improbable reste possible.

02Un exemple

Si une moyenne a une variance 0,01, la probabilité de s’écarter d’au moins 0,2 de son espérance est majorée par 0,01/0,04 = 0,25.

03À toi de jouer

Quelle borne donne V(X) = 4 et δ = 4 ?

Correction : 0,25. On divise 4 par 4² = 16.