Équations différentielles y′ = ay + b

01Comprendre

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à sa dérivée. Pour y′ = ay, les solutions sont y(x) = Ceᵃˣ. Si a est non nul, les solutions de y′ = ay + b s’écrivent Ceᵃˣ − b/a. Une condition initiale détermine C. Pour a = 0, on résout y′ = b, donc y = bx + C. Le modèle et ses paramètres doivent être interprétés : une solution mathématique ne valide pas automatiquement un phénomène réel.

02Un exemple

Pour y′ = −2y et y(0) = 3, la solution est y(x) = 3e⁻²ˣ. Elle décroît vers zéro tout en restant positive.

03À toi de jouer

Quelle solution vérifie y′ = y et y(0) = 4 ?

Correction : 4eˣ. La famille est Ceˣ et la condition initiale impose C = 4.