Intégrale, valeur moyenne et intégration par parties

01Comprendre

L’intégrale de f entre a et b est un nombre signé. Pour f continue, une primitive F donne ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). Si f est positive, ce nombre correspond à une aire ; sinon les contributions négatives se soustraient. La valeur moyenne sur [a ; b], pour a < b, vaut l’intégrale divisée par b − a. L’intégration par parties transforme ∫uv′ en [uv] − ∫u′v, lorsque les fonctions satisfont les conditions de dérivabilité.

02Un exemple

Pour f(x) = 2x sur [0 ; 2], une primitive est x², l’intégrale vaut 4 et la valeur moyenne vaut 4/2 = 2.

03À toi de jouer

Quelle est l’intégrale de 2x entre 0 et 3 ?

Correction : 9. La primitive x² donne 3² − 0² = 9.