Le calcul d’une aire par intégration
L’aire sous une courbe.
8 min de lecture · Quiz · 3 questions · Mis à jour le 26/09/2026
01L'aire sous une courbe
L'intégrale d'une fonction positive f sur un intervalle [a ; b] correspond à l'aire de la région comprise entre la courbe de f, l'axe des abscisses, et les droites verticales x = a et x = b. Cette aire s'exprime en unités d'aire (u.a.), qui dépendent de l'échelle du repère.
- Intégrale de f entre a et b
- notée ∫ₐᵇ f(x)dx, elle est égale à F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
- Unité d'aire
- l'aire du rectangle formé par les vecteurs unitaires des deux axes du repère.
Exemple : pour f(x) = 2x, une primitive est F(x) = x². L'intégrale entre 1 et 3 est F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8.
02Le cas d'une fonction négative
Si f est négative sur [a ; b], l'intégrale ∫ₐᵇ f(x)dx est un nombre négatif, opposé à l'aire (positive) comprise entre la courbe et l'axe des abscisses. Pour une fonction qui change de signe, il faut découper l'intervalle en sous-intervalles où f garde un signe constant.
03L'aire entre deux courbes
Pour calculer l'aire comprise entre les courbes de deux fonctions f et g sur [a ; b], avec f(x) ≥ g(x) sur cet intervalle, on calcule l'intégrale de leur différence : Aire = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx.
04Méthode : calculer une intégrale
- Trouve une primitive F de la fonction f.
- Calcule F(b), l'image de la borne supérieure.
- Calcule F(a), l'image de la borne inférieure.
- Soustrais : ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).
05Erreurs fréquentes
- ✗ Inverser l'ordre de soustraction : c'est toujours F(b) − F(a), pas F(a) − F(b).
- ✗ Appliquer directement la formule de l'aire sans vérifier que la fonction est positive sur l'intervalle.
- ✗ Additionner les intégrales sur des sous-intervalles où f change de signe sans tenir compte du signe négatif d'une partie de l'aire.
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