La continuité d’une fonction

01Une courbe sans saut

Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative peut être tracée sur cet intervalle sans lever le crayon, c'est-à-dire sans saut ni interruption. Toutes les fonctions usuelles étudiées au lycée (polynômes, fonction exponentielle, fonctions rationnelles sur leur ensemble de définition) sont continues.

02Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Une version renforcée du théorème, souvent appelée corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), s'applique quand f est en plus strictement monotone (croissante ou décroissante) sur [a ; b] : dans ce cas, il existe une unique valeur c dans [a ; b] telle que f(c) = k, pour toute valeur k comprise entre f(a) et f(b). C'est ce théorème qui permet d'affirmer l'unicité d'une solution, et pas seulement son existence.

03À quoi sert le théorème des valeurs intermédiaires ?

Ce théorème permet de prouver l'existence d'une solution à une équation f(x) = k, sans avoir besoin de la calculer explicitement, dès lors que f est continue et change suffisamment de valeurs.

Exemple : si f est continue sur [0 ; 2], avec f(0) = −3 et f(2) = 5, alors il existe (au moins) une valeur c dans [0 ; 2] telle que f(c) = 0.

04Méthode : utiliser le théorème des valeurs intermédiaires

1. Vérifie que la fonction est continue sur l'intervalle étudié.
2. Calcule les images des bornes de l'intervalle.
3. Vérifie que la valeur cherchée est bien comprise entre ces deux images.
4. Conclus à l'existence d'au moins une solution dans l'intervalle.

05Erreurs fréquentes

• ✗ Oublier de vérifier la continuité de la fonction avant d'appliquer le théorème.
• ✗ Croire que le théorème donne la valeur exacte de la solution (il prouve seulement son existence).
• ✗ Conclure à l'unicité de la solution sans avoir vérifié que la fonction est strictement monotone sur l'intervalle.