La fonction logarithme népérien

01La fonction réciproque de l'exponentielle

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle : elle « annule » son effet. Cette fonction a été introduite au XVIIe siècle par le mathématicien écossais John Napier (Neper), pour simplifier les calculs astronomiques.

La fonction ln est définie uniquement pour x > 0, strictement croissante, et ln(1) = 0.

02Les autres propriétés algébriques du logarithme

Outre la relation ln(a × b) = ln(a) + ln(b), trois autres propriétés permettent de transformer une expression logarithmique : ln(a/b) = ln(a) − ln(b), ln(1/a) = −ln(a), et ln(aⁿ) = n × ln(a), pour a et b strictement positifs et n entier.

Exemple : ln(8) = ln(2³) = 3 ln(2). De même, ln(1/2) = −ln(2).

03Dérivée et limites de la fonction ln

La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée est (ln x)' = 1/x, toujours positive, ce qui confirme que ln est strictement croissante. Aux bornes de son intervalle de définition, ln(x) tend vers −∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives, et vers +∞ quand x tend vers +∞, mais très lentement.

04Méthode : utiliser la relation ln(a × b) = ln(a) + ln(b)

1. Repère un produit à l'intérieur d'un logarithme.
2. Transforme ln(a × b) en ln(a) + ln(b).
3. Simplifie l'expression si possible.

Exemple : ln(2x) = ln(2) + ln(x), pour x > 0.

05Erreurs fréquentes

• ✗ Essayer de calculer ln(x) pour x négatif ou nul : le logarithme n'est défini que pour x strictement positif.
• ✗ Confondre ln(a × b) = ln(a) + ln(b) avec ln(a + b), qui ne se simplifie pas de cette façon.
• ✗ Écrire ln(aⁿ) = n × ln(a) même quand a est négatif : cette règle ne s'applique que si a > 0.