L’espérance d’une variable aléatoire
Une moyenne pondérée par les probabilités.
7 min de lecture · Quiz · 3 questions · Mis à jour le 26/09/2026
01Une moyenne pondérée par les probabilités
L'espérance d'une variable aléatoire donne la valeur moyenne que l'on peut attendre en répétant l'expérience un grand nombre de fois.
- Espérance E(X)
- E(X) = x₁ × P(X = x₁) + x₂ × P(X = x₂) + ... + xₙ × P(X = xₙ), où les xᵢ sont les valeurs possibles de X.
- Variable aléatoire
- une fonction qui associe un nombre à chaque issue possible d'une expérience aléatoire.
Exemple : un jeu où l'on gagne 10 € avec une probabilité de 0,2 et 0 € sinon (probabilité 0,8). L'espérance de gain est E(X) = 10 × 0,2 + 0 × 0,8 = 2 €.
02Le lien avec la loi des grands nombres
La loi des grands nombres montre que la moyenne des résultats obtenus se rapproche de l'espérance quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois. C'est pour cela que l'espérance est aussi appelée « valeur moyenne théorique » d'une variable aléatoire.
03Interpréter l'espérance
Une espérance positive dans un jeu signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur gagne. Une espérance négative signifie qu'il perd en moyenne. Un jeu est dit équitable lorsque son espérance de gain est nulle.
04Méthode : calculer une espérance
- Liste toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire X.
- Associe à chaque valeur sa probabilité.
- Multiplie chaque valeur par sa probabilité, puis additionne tous les résultats.
05Erreurs fréquentes
- ✗ Oublier une valeur possible de X dans le calcul de l'espérance.
- ✗ Confondre l'espérance (une moyenne théorique) avec une valeur réellement observée lors d'une seule expérience.
- ✗ Oublier de vérifier que la somme de toutes les probabilités vaut bien 1 avant de calculer l'espérance.
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