Schéma de Bernoulli et variance binomiale

01Comprendre

Un schéma de Bernoulli répète n épreuves indépendantes ayant la même probabilité p de succès. Le nombre X de succès suit alors une loi binomiale. Pour k entre 0 et n, P(X = k) = C(n,k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Son espérance vaut np et sa variance np(1 − p). Un tirage sans remise ne respecte pas en général l’indépendance et la probabilité constante. Il faut vérifier les hypothèses avant d’appliquer la formule.

02Un exemple

Pour trois lancers indépendants d’une pièce équilibrée, la probabilité de deux piles vaut C(3,2) × (1/2)³ = 3/8.

03À toi de jouer

Quelle est l’espérance de B(20 ; 0,3) ?

Correction : 6. L’espérance vaut np = 20 × 0,3.