Théorème des valeurs intermédiaires et dichotomie

01Comprendre

Une fonction continue sur [a ; b] prend toute valeur comprise entre f(a) et f(b). Si les valeurs aux bornes sont de signes opposés, elle admet donc au moins une racine. La stricte monotonie garantit l’unicité lorsqu’elle s’ajoute aux hypothèses. La dichotomie encadre une racine en divisant l’intervalle par deux et en conservant une partie où les signes restent opposés. Le théorème établit l’existence ; l’algorithme fournit une approximation avec une précision contrôlée.

02Un exemple

Pour f(x) = x³ − 2, f(1) < 0 et f(2) > 0. La fonction est continue et strictement croissante : elle possède une unique racine dans [1 ; 2].

03À toi de jouer

Quelle hypothèse supplémentaire garantit ici l’unicité ?

Correction : La stricte croissance. Une fonction strictement croissante ne s’annule pas deux fois.