Fonctions inverse, cube et racine carrée

01Comprendre

La fonction inverse x ↦ 1/x est définie sauf en zéro et décroît sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[. La fonction cube x ↦ x³ est croissante sur les réels. La fonction racine carrée est définie pour x ≥ 0 et y est croissante. Pour résoudre une équation, on respecte d’abord le domaine de définition ; comparer deux valeurs nécessite de connaître l’intervalle sur lequel on travaille.

02Un exemple

L’équation √x = 3 a pour solution x = 9. Pour x = −2, la fonction cube vaut −8, et la fonction inverse vaut −1/2.

03À toi de jouer

Quel est le domaine de la fonction racine carrée ?

Correction : [0 ; +∞[. Dans les réels, on ne prend la racine carrée que d’un nombre positif ou nul.

04Ensemble de définition d’une expression

L’ensemble de définition contient les valeurs réelles pour lesquelles une expression a un sens. Une fraction impose un dénominateur non nul ; une racine carrée réelle impose un radicand positif ou nul. Si plusieurs contraintes apparaissent, elles doivent être satisfaites simultanément. Le résultat est donc une intersection d’ensembles, et non leur réunion.

Une simplification ne supprime pas les restrictions initiales. Ainsi (x² − 1)/(x − 1) vaut x + 1 lorsque x est différent de 1, mais l’expression de départ demeure indéfinie en 1. Préciser le domaine avant le calcul permet d’éviter des solutions impossibles et de comprendre les ruptures d’une représentation graphique.

Exemple : Pour f(x) = √(x + 2)/(x − 3), la racine impose x ≥ −2 et le quotient impose x ≠ 3. Le domaine est [−2 ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[. La valeur −2 est autorisée : la racine vaut alors zéro et le dénominateur −5.

Travailler cette notion avec sa méthode, son exercice et son quiz.